Теорема[3]. Если c_1,c_2… c_n- различные корни многочлена f (x), то f (x) можно представить в виде f(x)=(x-c_1 )(x-c_2 )… (x-c_n ) s_n (x), где степень s_n (x) равна разности степени f(x) и n. Доказательство[3]. Пусть c_1,c_2… c_n- различные корни многочлена f(x). Тогда f(x)делится на x-c_1, т.е. f(x)=(x-c_1 ) s_1 (x). Предположим в этом равенстве x=c_2. Получим f(c_2 )=(c_2-c_1 ) s_1 (c_2 ) и, так f(c_2 )=0, то (c_2-c_1 ) s_1 (c_2 )=0. Но c_2≠c_1, т.е.с_2-с_1≠0, а значит,f(c_2 )=0. Таким образом, c_2- корень многочлена s_1 (x). Отсюда следует, что s_1 (x) делится на x-c_2, т.е. s_1 (x)=(x-c_2 ) s_2 (x). Подставим полученное выражение для s_1 (x) в равенство f(x)=(x-c_1 ) s_1 (x). Имеем f(x)=(x-c_1 )(x-c_2 ) s_2 (x). Предположим в последнем равенстве x=c_(3 )с учетом того, что f(c_3 )=0,c_3≠c_1,c_3=c_2, получим, что c_3- корень многочлена s_2 (x). Значит, s_2 (x)=(x-c_3 ) s_3 (x), а тогда f(x)=(x-c_1 )(x-c_2 )(x-c_3 ) s_3 (x) и т.д. Продолжив эти рассужденья для оставшихся корнейc_4,c_5… c_n, получим f(x)=(x-c_1 )(x-c_2 )… (x-c_n ) s_n (x), т.е. доказано утверждение.